Avete superato il Medioevo? Provate i problemi matematici di Alcuino (parte seconda)

Furono importanti per tutta l’antichità e anche dopo. Logica, calcolo, intuito. Erano gli esercizi per rendere acuta la mente dei giovani, compilati da un filosofo di successo: Alcuino da York

Il Medioevo: epoca di ignoranza e superstizione? Tutt’altro. Semmai periodo di incubazione della scienza e della logica. Chi consideri l’epoca a metà tra l’impero romano e la scoperta dell’America un periodo oscuro deve leggere qualche libro di storia più recente e, soprattutto, mettersi alla prova con i problemi matematici di Alcuino da York.

Professore, teologo, filosofo e beato, Alcuino insegnò, per anni, nella scuola episcopale di York. Formò la sua persona e il suo metodo a contatto con gli studenti e ottenne una grande fama. Tanto che nel 781 perfino Carlo Magno, l’imperatore degli imperatori, lo volle nella sua corte per trasmettere il sapere alla sua futura classe dirigente. Alcuino obbedì subito, si caricò di libri e si trasferì ad Aquisgrana. Qui insegnò per anni e scrisse anche un manuale: le Propositiones ad acuendos iuvenes, cioè Problemi per rendere più acuta la mente dei giovani. Una raccolta di problemi matematici che, ancora oggi, ha un suo valore.

Qui se ne propongono due: il primo riguarda la giusta spartizione di un’eredità; il secondo è una variante, interessante, del problema della capra e dei cavoli.

Propositio de quodam patrefamilias et tribus filiis eius
Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem vacuae. Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo.

Solutio
Tres igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X sunt plenae, et X mediae, et X vacue. Duc ter decies; fiunt XXX. Unicuique filio veniunt X ampullae in portionem. Divide autem per tertiam partem, hoc est, da primo filio X semis ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V vacuas. Similiter dabis tertio, et erit trium aequa germanorum divisio tam in oleo, quam in vitro.

Proposizione su un capofamiglia e i suoi tre figli
Un capofamiglia, morendo, lasciò in eredità ai suoi tre figli 30 ampolle di vetro, di cui 10 erano piene d’olio, 10 erano piene a metà e 10 erano vuote. Divida, chi può, l’olio e le ampolle, cosicchè i tre figli ricevano quantità uguali sia di vetro sia di olio.

Soluzione
Tre sono i figli e 30 le ampolle di vetro. Tuttavia, di queste ampolle, 10 sono piene d’olio, 10 piene a metà e 10 vuote. Considera il triplo di 10, che è 30: ogni figlio riceve 10 ampolle come parte di eredità. Dividi inoltre le tre parti di eredità in questo modo: Dà al primo figlio 10 ampolle piene a metà e al secondo figlio 5 piene e 5 vuote. Dà anche al terzo figlio 5 ampolle piene e 5 vuote ed ecco che le parti di eredità sono uguali sia nella quantità d’olio sia nel numero di ampolle.

Propositio de tribus fratribus singulas habentibus sorores
Tres fratres erant, qui singulas sorores habebant, et fluvium transire debebant. (Erat enim unicuique illorum concupiscientia in sorore proximi sui) qui venientes ad fluvium non invenerunt, nisi parvam naviculam, in qua non potuerunt amplius nisi duo ex illis transire. Dicat, qui potest, qualiter fluvium transierunt, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit?

Solutio
Primo omnium ego et soror mea introissemus in navem et transfretassemus ultra; transfretatoque fluvio dimisissem sororem meam de nave, et reduxissem navem ad ripam. Tunc vero introissent sorores duorum virorum, illorum videlicet, qui ad litus remanserant. Illis igitur feminis navi egressis, soror mea [quae prima transierat,] intraret, navemque reduceret ad nos. Illa egrediente foras, duo in navem fratres intrassent, ultraque venissent. Tunc unus ex illis una cum sorore sua navem ingressi ad nos transfretassent. Ego autem et ille, qui navigaverat, sorore mea remanente foras, ultra venissemus. Nosque ad littora vectos, una ex illis duabus quaelibet mulieribus, ultra navem reduceret, sororeque mea secum recepta pariter ad nos ultra venissent. Et ille, cujus soror ultra remanserat, navem ingressus eam secum reduceret. Et fieret expleta transvectio nullo maculante contagio.

Proposizione su tre amici, ciascuno dei quali aveva una sorella nubile
C’erano tre amici, ciascuno dei quali aveva una sorella nubile, che dovevano attraversare un fiume. Ogni uomo desiderava le sorelle degli altri due. Giunti al fiume, non trovarono altro che una piccola barca che poteva trasportare non più di due persone alla volta. Dica, chi può, in che modo attraversarono il fiume, affinchè nessuna donna fosse disonorata dagli uomini?

Soluzione
Prima di tutto, io e mia sorella salimmo sulla barca e attraversammo il fiume. Lei scese e io ritornai alla riva di partenza. Poi salirono le sorelle degli altri due uomini. Giunte alla riva opposta, scesero dalla barca e vi salì mia sorella riportandocela indietro. Quindi salirono gli altri due uomini. Giunti sull’altra riva, uno dei due ritornò indietro assieme a sua sorella. Poi io e l’uomo che aveva riportato la barca attraversammo nuovamente il fiume mentre mia sorella rimase sulla riva. Giunti alla riva opposta, una donna prese la barca, attraversò il fiume e ritornò indietro portando mia sorella verso di noi. Infine, l’uomo la cui sorella era rimasta sull’altra riva, attraversò il fiume e ritornò indietro con lei. Così si concluse la traversata senza che nessuna donna fosse disonorata.