Enigmi da spiaggia: i problemi matematici medievali di Alcuino

Il celebre pedagogo, filosofo e poi beato fondò la scuola dell’impero carolingio. Inventò uno stile di scrittura e, alla fine, compilò un bel libro di problemi di matematica per ragazzi

Per essere sicuri di aver superato, in preparazione e bravura, l’epoca medievale, non c’è modo migliore che mettersi alla prova con i problemi matematici inventati (o meglio: raccolti) da Alcuino da York, nella sua opera Propositiones ad acuendos iuvenes, cioè Problemi per rendere più acuta la mente dei giovani. È una raccolta fondamentale, sia per la storia dell’uomo/umanità (da qui proviene il problema della capra e del cavolo, insieme al modo di dire) sia per quella dell’uomo/Alcuino, che corona così la sua brillante carriera.

A 46 anni Alcuino, dopo aver insegnato per anni dalla scuola episcopale di York, di cui era direttore, fu invitato dal re Carlo Magno alla sua corte, cioè nel bel palazzo di Aquisgrana. Era il 781. Il filosofo/teologo (e poi beato) ricevette l’incarico di fondare le basi culturali per l’impero carolingio (non sapeva, il povero, che il Sacro Romano Impero sarebbe durato poco). Alcuino accettò: diresse la Schola Palatina, inserì un nuovo sistema pedagogico, si basò sulla suddivisione tra trivio e quadrivio e poi assistette anche all’invenzione di una scrittura semplice e molto leggibile: la minuscola carolina, utile per copiare i testi e per diventare, dopo circa un millennio, il Times New Roman (roman, appunto).

Ma il più grande contributo lo diede proprio grazie alla sua raccolta di problemi matematici. Per secoli ci si basò su questi per forgiare, in modo matematico e logico, la mente degli studenti. Qui ci sono due esercizi per mettersi alla prova:

Problema 5

Propositio de emptore denariorum
Dixit quidam emptor: volo de centum denariis C porcos emere; sic tamen, ut verres X denariis ematur; scrofa autem V denariis; duo vero porcelli denario uno. Dicat, qui intelligit, quot verres, quot scrofae, quotve porcelli esse debeant, ut in neutris numerus nec superabundet, nec minuatur?

Solutio
Fac VIIII scrofas et unum verrem in quinquaginta quinque denariis; et LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis, fac porcellos X, et habebis centenarium numerum in utriusque.

Il problema del commerciante e dei suoi denari
Disse un commerciante: “Voglio comprare 100 maiali con 100 denari in modo tale da pagare 10 denari per un verro adulto, 5 denari per una scrofa e 1 denaro per due maialini”. Dica, chi lo sa, quanti verri, scrofe e maialini dovrebbe acquistare il commerciante per spendere esattamente 100 denari?

Soluzione
Il commerciante compra 9 scrofe ed un verro per 55 denari, e 80 maialini per 40 denari. Ecco 90 maiali. Con i rimanenti 5 denari, compra altri 10 maialini, ed in questo modo ha 100 maiali per 100 denari.

Problema 6

Propositio de duobus negotiatoribus C solidos habentibus
Fuerunt duo negatiatores, habentes C solidos communes, quibus emerent porcos. Emerunt autem in solidis duobus porcos V, volentes eos saginare, atque iterum venumdare, et in solidis lucrum facere. Cumque vidissent tempus non esse ad saginandos porcos, et ipsi eos non valuissent tempore hyemali pascere, tentavere venumdando, si potuissent, lucrum facere, sed non potuerunt; quia non valebant eos amplius venumdare, nisi ut empti fuerant, id est, ut de V porcis duos solidos acciperent. Cum hoc conspexissent, dixerunt ad invicem: dividamus eos. Dividentes autem et vendentes, sicut emerant, fecerunt lucrum. Dicat, qui valet, imprimis quot porci fuerunt; et dividat ac vendat et lucrum faciat, quod facere de simul venditis non valuit.

Solutio
Imprimis CCL porci erant, qui C solidis sunt comparati, sicut supra dictum est, in duobus solidis V porcos: quia sive quinquagies quinos, sive quinquies L dixeris, CCL numerabis. Quibus divisis unus tulit CXXV, alter similiter. Unus vendidit deteriores tres semper in solido; alter meliores duos in solido. Sic evenit, ut is, qui deteriores vendidit, de CXX porcis XL solidos est consecutus. Qui vero meliores, LX solidos est consecutus; quia de inferioribus XXX semper in X solidis; de melioribus vinginti autem in X solidis sunt venumdati: et remanserunt utrisque V porci, ex quibus ad lucrum IIII solidos et duos denarios facere potuerunt.

Problema su due uomini d’affari che posseggono 100 soldi
C’erano due uomini d’affari che avevano 100 soldi in società, con i quali comprarono alcuni maiali al prezzo di 2 soldi per 5 maiali, con l’intenzione di ingrassarli e venderli in seguito, realizzando un profitto. Quando si accorsero che non era il periodo giusto per ingrassare i maiali, e che loro non erano in grado di alimentarli per tutto l’inverno, cercarono di trarre guadagno rivendendoli. Ma non ebbero successo, perchè avrebbero potuto rivendere i maiali solo al prezzo a cui li avevano acquistati, cioè 2 soldi per 5 maiali. Quando lo capirono, si dissero l’un l’altro: “Ci divideremo i maiali.” Ma spartendosi i maiali e rivendendoli allo stesso prezzo al quale li avevano pagati, riuscirono a realizzare un guadagno. Dica, chi ne è capace: quanti maiali acquistarono inizialmente i due uomini, come se li spartirono e a quale prezzo li rivendettero in modo da realizzare quel profitto che non avrebbero ottenuto se li avessero rivenduti tutti insieme?

Soluzione
I due uomini acquistarono inizialmente 250 maiali con 100 soldi come detto sopra, al prezzo di 2 soldi per 5 maiali. Infatti se dici “50 volte 5” o “5 volte 50” ottieni sempre 250. Divisi i maiali, i due uomini ne presero 125 a testa.
Un uomo vendette i maiali di qualità inferiore al prezzo di 1 soldo per 3 maiali. L’altro vendette i maiali di qualità superiore al prezzo di 1 soldo per due maiali.Allora accadde che colui che aveva venduto i maiali di qualità inferiore ricavò 40 soldi per 120 maiali, mentre colui che aveva venduto dei maiali di qualità superiore ricavò 60 soldi per 120 maiali. Questo perchè c’erano sempre 30 maiali di qualità inferiore per 10 soldi e 20 di qualità superiore per 10 soldi. Ai due uomini rimasero 5 maiali a testa, che fruttarono loro 4 soldi e 2 denari di guadagno.

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