Non è un'opinione!
18 Marzo Mar 2012 1532 18 marzo 2012

Problemi aperti e chiusi. Ovvero, dell'indecidebilità.

Ci eravamo lasciati l'ultima volta, colpevolmente troppo tempo fa, con un indovinello sui numeri primi. Si trattava di trovare il primo numero pari che non sia somma di due numeri primi. Un lettore, scherzando, mi ha scritto di esserci riuscito. Gli auguro davvero di esserci riuscito: infatti questo semplice problemino, sotto il nome di congettura di Goldbach, è uno dei più difficili problemi aperti della storia della matematica. Nel lessico dei matematici infatti un problema è come una specie di infisso: finchè nessuno lo risolve il problema è aperto, nel momento in cui si trova una soluzione il problema è chiuso. Per sempre. Game over. E questa congettura di Goldabch è aperta da secoli senza che nessuno abbia trovato una dimostrazione. Il che è un vero peccato, anche perchè nel 2000, per pubblicizzare il libro Zio Petros e la congettura di Goldbach, l'editore britannico Tony Faber aveva proposto un milione di dollari di ricompensa per chi fosse stato in grado di darne una dimostrazione.

Il problema è quindi di una difficoltà titanica e credo che ormai ci si dedichino veramente poche persone, nel timore di perdere anni e anni di carriera dietro ad una chimera irraggiungibile. Sì perchè in effetti c'è una possibilità remota che la dimostrazione della congettura sia veramente un miraggio. Questo ci porta nell'affascinante campo della logica matematica, cioè di quella disciplina che si occupa di studiare la veridicità e la dimostrabilità degli enunciati che gli scienziati producono.

Spesso infatti i matematici hanno l'impressione di poter dimostrare la veridicità o meno di qualsiasi enunciato. Uno dei teoremi di logica più strabilianti del XX secolo però dimostra il contrario. Infatti nel 1931 il matematico Austriaco Kurt Gödel formulò un teorema che effettivamente asserisce che in ogni sistema assiomatico logico-matematico potrebbero esistere delle "zone d'ombra" della conoscenza, degli enunciati che non sono dimostrabili in nessun modo. E l'aspetto più drammatico dal punto di vista di uno studioso è che non è possibile sapere quali sono questi enunciati. Quindi c'è sempre la remota - ma quanto remota? - possibilità di essere al lavoro su un'affascinante strada irrimediabilmente a fondo chiuso.

Detto in termini un poco più tecnici:

In ogni formalizzazione logica della matematica che sia in grado di assiomatizzare la teoria dei numeri naturali — in altre parole, sufficientemente complessa da riuscire a definire la struttura dei naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile enunciare una proposizione corretta sintatticamente, ma che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema assiomatico.

Una bella fregatura quindi? In un certo senso sì, però questo teorema di incompletezza di Gödel ebbe un effetto straordinario sulla comunità matematica del tempo. Soprattutto in termini filosofici cambiò moltissimo il modo in cui gli stessi scienziati guardavano alla loro disciplina. In un periodo storico in cui i totalitarismi si affermavano nel mondo, gettando ombre oscure sul futuro in particolare dell'Europa, anche la fiducia nelle possibilità quasi illimitate della logica e dell'intelletto umano subiva un duro colpo.

Detto questo, non voglio assolutamente scoraggiarvi dal provare a dare la vostra dimostrazione della congettura di Goldbach...

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