I fisici spesso descrivono la relatività generale in termini estetici: è la teoria cui viene riferito più frequentemente l’aggettivo «bella». Questo aggettivo implica un’eleganza e un’economicità non facili da riconoscere nella matematica, che è notoriamente astrusa. C’è un famoso aneddoto su Arthur Eddington che, sentendosi dire che era una delle tre sole persone al mondo che capivano la teoria di Ein- stein, si fermò un momento e poi rispose: «Sto cercando di capire chi sia la terza».
L’aggettivo vale piuttosto per l’eleganza e l’economicità dei concetti sottostanti alla teoria e alla splendida idea che la gravità sia geometria. John Archibald Wheeler espresse questo dogma centrale della relatività generale in un’unica frase: «Lo spaziotempo dice alla materia come muoversi; la materia dice allo spaziotempo come curvarsi».
La cosa difficile della relatività generale è il calcolo di come lo spaziotempo si incurva, e per qualunque situazione che non si riduca a disposizioni particolarmente semplici della materia e dell’energia, soluzioni esatte delle equazioni di Einstein non sono facili da trovare.
I buchi neri sono uno dei pochi casi in natura per cui siamo in grado di calcolare con precisione la geometria dello spaziotempo, e una volta che conosciamo la geometria possiamo rappresentarli visualmente. La sfida è trovare il modo più utile di disegnare lo spaziotempo intorno a un buco nero su un foglio di carta piatto.
Il foglio è bidimensionale mentre lo spaziotempo è quadridimensionale, il che rende difficile (a dir poco) fare dei disegni. Se lo spaziotempo è incurvato, si ha un’ulteriore difficoltà e la distorsione è inevitabile. Il trucco consiste nel disegnare il numero minimo di dimensioni necessario, che […] si riduce spesso a una sola dimensione spaziale più la dimensione temporale, e nello scegliere la distorsione in modo tale che gli aspetti cui siamo interessati siano resi in una maniera che faciliti la nostra comprensione.
C’è un’immagine familiare a tutti che introduce la distorsione in un modo scelto con cura per rappresentare una superficie curva su un pezzo di carta piatto: una carta della superficie della Terra che è sferica. Sono stati escogitati molti modi per rappresentarne la superficie […]. La proiezione di Mercatore, introdotta nel 1569 da Gerard de Kremer, è concepita specificamente per la navigazione.
I marinai sono interessati alle letture della bussola […] e perciò la proiezione di Mercatore è definita in modo tale che gli angoli sulla carta in qualsiasi punto siano uguali all’indicazione della bussola in quel punto. Ciò significa che un navigatore può tracciare una linea retta sulla carta tra due punti, e l’angolo tra la retta e la verticale sarà il rilevamento rispetto al nord che la nave deve seguire per andare dall’uno all’altro dei punti.
Il prezzo che si paga è che le distanze sulla carta sono alterate e l’alterazione aumenta con la latitudine. La Groenlandia appare grande come l’Africa nella proiezione di Mercatore, mentre in realtà la sua area è oltre 14 volte minore. La distorsione diventa infinita ai poli, che non possono essere rappresentati sulla carta. La proiezione di Mercatore è un esempio di proiezione «conforme», termine che significa che sono conservati gli angoli e le forme a spese delle distanze e delle aree.
I diagrammi spaziotemporali […] si estendono all’infinito in ogni direzione: il tempo si estende illimitatamente in su e in giù, e lo spazio si estende illimitatamente a sinistra e a destra. Ciò non è di necessità un problema, a meno che siamo interessati a rappresentare la fisica dell’illimitato, ma questo è proprio quello che ci interesserebbe fare se vogliamo visualizzare lo spaziotempo in prossimità di un buco nero.
Se dobbiamo sviluppare un’immagine intuitiva di un buco nero, quindi, siamo interessati a un modo per portare l’infinito in un punto finito sulla pagina. Roger Penrose ha trovato un modo elegante per farlo. […]
Il diagramma di Penrose per lo spaziotempo piatto è qualcosa di molto bello: tutto lo spazio e tutto il tempo sono stati compressi in una regione di dimensioni finite a forma di losanga. Ogni evento nella storia e nel futuro di un universo infinito ed eterno è situato in qualche punto di questo diagramma. La distorsione è estrema, come deve essere (abbiamo racchiuso l’infinito in un’unica pagina), ma è stata scelta con cura.
Proprio come la proiezione di Mercatore, il diagramma di Penrose è una proiezione conforme; sono conservati gli angoli a spese delle distanze sulla pagina. Ciò significa che i raggi luminosi si propagano sempre lungo linee a 45 gradi e tutti i coni di luce sono orientati verticalmente, proprio come nei diagrammi spaziotemporali del precedente capitolo.
In ogni punto, quindi, possiamo pensare il tempo diretto verticalmente verso l’alto. Dal momento che i coni di luce definiscono la nozione di passato e futuro e ci dicono se un particolare evento può influenzarne un altro, sono di estrema importanza.
Se siamo interessati al modo in cui gli eventi nello spaziotempo sono correlati tra loro in prossimità di un buco nero, ciò di cui siamo in cerca è una regola semplice e intuitiva per i coni di luce. L’altra magnifica proprietà del diagramma di Penrose è che, come abbiamo preannunciato, esso porta l’infinito in un punto finito sulla pagina; e non solo in uno, ma in cinque punti.
